Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité
Les intégrales et les primitives
Exercice 1 : Intégration d'une fonction polynomiale avec une borne variable
Déterminer la valeur de l'intégrale \( I \) suivante :
\[ I = \int_{-3}^{t} \dfrac{x^{4} -5x^{2} + 3}{x^{2}}\, dx \]
Exercice 2 : Lien entre intégrale et aire sous une courbe
Sachant que la courbe représentée ci-dessous est la représentation de la fonction définie sur \( \left[-3; 1\right] \) par :\[ f: x \mapsto x^{2} \]
Quelle est l'aire sous la courbe sur cet intervalle ?
Quelle est l'aire sous la courbe sur cet intervalle ?
Exercice 3 : Reconnaître -u'/u²
Soit
\[
f(x)=\dfrac{2x + 3}{\left(x^{2} + 3x + 4\right)^{2}}
\]
Calculer l'intégrale suivante.
\[
\int_{1}^{4} \operatorname{f}{\left (x \right )}\, dx
\]
Exercice 4 : Trouver une primitive de 1/u^2 (avec u = ax + b)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \backslash \{- \dfrac{3}{2}\} \) par :
\[ f: x \mapsto \dfrac{1}{\left(4x + 6\right)^{2}} \]
Trouver une primitive \( F \) de \( f \).
On donnera directement l'expression algébrique de \( F(x) \).
Trouver une primitive \( F \) de \( f \).
On donnera directement l'expression algébrique de \( F(x) \).
Exercice 5 : Aire entre 2 courbes (intégrale positive)
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par:
\[ f: x \mapsto 4x^{2} + 2x -5 \]
\[ g: x \mapsto 8x^{2} + 5x -9 \]
Soit \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) leurs représentations graphiques respectives.
Déterminer l'aire entre \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) et les droites d'équations \(x = -1\) et \(x = 0\).
Déterminer l'aire entre \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) et les droites d'équations \(x = -1\) et \(x = 0\).